Г. Акишев. Оценки наилучших приближений функций класса логарифмической гладкости в пространстве Лоренца ... C. 3-21.

УДК 517.5

MSC: 41A10; 41A25; 42A10; 46E30; 46E35

DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-3-3-21

Полная версия статьи

Работа выполнена при финансовой поддержке Программы повышения конкурентоспособности УрФУ (постановление № 211 Правительства РФ от 16.03.2013, контракт №02.A03.21.0006 от 27.08.2013) и, частично, гранта 5129/ГФ4 Министерства образования и науки РК.

В статье рассматривается $L_{p,\tau}(\mathbb{T}^{m})$ - пространство Лоренца периодических функций $m$ переменных. Определено пространство Бесова функций с логарифмической гладкостью $B_{p, \tau, \theta}^{0, \alpha}$. Основная цель статьи - найти точный порядок наилучшего приближения функций из класса $B_{p, \tau, \theta}^{0, \alpha}$ в различных соотношениях между параметрами $p, \tau, \theta$. Статья состоит из трех разделов. В первом разделе приведены некоторые известные утверждения, необходимые для доказательства основных результатов и доказаны несколько вспомогательных утверждений. Во втором разделе установлены точные по порядку оценки наилучшего приближения функций из класса $B_{p, \tau, \theta}^{0, \alpha}$ в пространстве $L_{p,\tau}(\mathbb{T}^{m})$. В третьем разделе доказано неравенство разных метрик для тригонометрических полиномов и установлено достаточное условие принадлежности функции $f\in L_{p,\tau_{1}}(\mathbb{T}^{m})$ в пространство $L_{p,\tau_{2}}(\mathbb{T}^{m})$ в случае $1<\tau_{2}<\tau_{1}$ в терминах наилучшего приближения. В отличие от анизотропных пространств Лоренца это условие не зависит от количества переменных $m$. Получены точные по порядку оценки наилучшего приближения тригонометрическими полиномами функции класса Бесова $B_{p, \tau_{1}, \theta}^{0, \alpha}$ в пространстве $L_{p,\tau_{2}}(\mathbb{T}^{m})$ в случае $1<\tau_{2}<\tau_{1}$.

Ключевые слова: пространство Лоренца, класса Бесова, наилучшее приближение, логарифмическая гладкость.

Список литературы

1. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974. 332 с.

2. Кашин Б.С., Темляков В.Н. Об одной норме и аппроксимационных характеристиках классов функций многих переменных // Метрическая теория функций и смежные вопросы анализа. М: АЦФ, 1999. С. 69-99.

3. DeVore R.A., Riemenschneider S.D., Sharpley R.C. Weak interpolation in Banach spaces // J. Func. Anal. 1979. Vol. 33. P. 58-94. http://dx.doi.org/10.1016/0022-1236-79-90018-1 .

4. Cobos F., Milman M. On a limit class of approximation spaces // Numer. Funct. Anal. Optimiz. 1990. Vol. 11, no. 1-2. P. 11-31. http://dx.doi.org/10.1080/01630569008816358 .

5. Cobos F., Dominguez O. On Besov spaces of logarithmic smoothness and Lippschitz spaces // J. Math. Anal. Appl. 2015. Vol. 425, no. 1. P. 71-84. http://dx.doi.org/10.1016/j.jmaa.2014.12.034 .

6. Романюк А.С. Приближение изотропных классов $B_ {p,\theta} ^ r $ периодических функций многих переменных в пространстве $L_ q $ // Збiрник праць Iн-ту математики НАН Украiни. 2008. Т. 5, No 1. С. 263-278.

7. Стасюк С.А. Аппроксимативные характеристики аналогов классов Бесова с логарифмической гладкостью // Укр. мат. журн. 2014. Т. 66, No 4. С. 493-499.

8. Стасюк С.А. Колмогоровские поперечники аналогов классов Никольского - Бесова с логарифмической гладкостью // Укр. мат. журн. 2015. Т. 67, No 11. С. 1579-1584.

9. Dinh Dung, Temlyakov V.N., Ullrich T. Hyperbolic cross approximation [e-resource]. 2016. 154 p. URL: https://arxiv.org/pdf/1601.03978.pdf

10. Акишев Г. О вложении некоторых классов функций многих переменных в пространство Лоренца // Изв. АН КазССР. Cер. физ.-мат. 1982. Т. 3. С. 47-51.

11 Шерстнева Л.А. О свойствах наилучших приближений Лоренца и некоторые теоремы вложения // Изв. вузов. Математика. 1987. Т. 10. С. 48-58.

12. Lizorkin P.I. Generalized Holder spaces $B_ {p,\theta} ^ (r) $ and their relations with the Sobolev spaces $L_ p ^ (r) $ // Sib. Mat. Zh. 1968. Vol. 9, no. 5. P. 1127-1152.

13. Janson S. On the interpolation of sublinear operators // Studia Math. 1982. Vol. 75. P. 51-53.

14. Kokilashvili V., Yildirir Y.E. On the approximation by trigonometric polynomials in weighted Lorentz spaces // J. Func. Spaces Appl. 2010. Vol. 8, no. 1. P. 67-86.

15. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977. 456 с.

16. Акишев Г. О порядках $M$-членных приближений классов функций симметричного пространства // Мат. журн. 2014. Т. 14, No 4. C. 46-71.

17. Ditzian Z., Prymak A. Nikol'skii inequalities for Lorentz spaces // Rocky Mountain Jour. Math. 2010. Vol. 40, no. 1. P. 209-223. http://dx.doi.org/10.1216/RMJ-2010-40-1-209 .

18. Johansson H. Embedding of $H_ p ^\omega $ in some Lorentz spases // Research Report Universite Umea. 1975. Vol. 6. C. 1-36.

19. Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. МИАН. 1986. Т. 178. С. 1-112.

20. Akishev G. The estimates of approximations classes in the Lorentz space // AIP Conf. Proc. International conference Advancements in Mathematical Sciences (5-7 November, 2015). Antalya, 2015. P. 1-4.  http://dx.doi.org/10.1063/1.4930453.

21. Акишев Г. Оценки наилучших приближений функций класса логарифмической гладкости в пространстве Лоренца // Материалы Междунар. конф. "Воронежская зимняя математическая школа". Воронеж, 2017. С. 12-14. 

Статья поступила  28.06.2017.

Сведения об авторе

Акишев Габдолла
д-р физ.-мат. наук, профессор
Карагандинский государственный университет им. Е. А. Букетова, г. Караганда, Казахстан
Уральский федеральный университет, г. Екатеринбург
e-mail: akishev_g@mail.ru

English

G. Akishev. Estimates for best approximations of functions from the logarithmic smoothness class in the Lorentz space.

The Lorentz space $L_{p,\tau}(\mathbb{T}^{m})$ of periodic functions of $m$ variables is considered. The Besov space $B_{p, \tau, \theta}^{0, \alpha}$ of functions with logarithmic smoothness is defined. The aim of the paper is to find the exact order of the best approximation of functions from the class $B_{p, \tau, \theta}^{0, \alpha}$ under different relations between the parameters $p$, $\tau$, and $\theta$. The paper consists of three sections. In the first section, known facts necessary for the proof of the main results are given and several auxiliary statements are proved. In the second section, order-exact estimates for the best approximation of functions from the class $B_{p, \tau, \theta}^{0, \alpha}$ are established in the space $L_{p,\tau}(\mathbb{T}^{m})$. In the third section, an inequality for different metrics of trigonometric polynomials is proved and a sufficient condition for the belonging of a function $f\in L_{p,\tau_{1}}(\mathbb{T}^{m})$ to the space $L_{p,\tau_{2}}(\mathbb{T}^{m})$ in terms of the best approximation is established in the case $1<\tau_{2}<\tau_{1}$. In contrast to anisotropic Lorentz spaces, the condition is independent of the number $m$ of the variables. Order-exact estimates for the best approximation of functions from the Besov class $B_{p, \tau_{1}, \theta}^{0, \alpha}$ by trigonometric polynomials $L_{p,\tau_{2}}(\mathbb{T}^{m})$ are obtained in the case $1<\tau_{2}<\tau_{1}$.

Keywords: Lorentz space, Besov class, best approximation, logarithmic smoothness.

The paper was received by the Editorial Office on June 28, 2017.

Gabdolla Akishev,  Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., RSE Academician E. A. Buketov Karaganda State University, the Republic of Kazakhstan, 100028;  Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: akishev_g@mail.ru