Р.Р. Акопян, М.С. Саидусайнов. Три экстремальные задачи в пространствах Харди и Бергмана аналитических функций в круге ... С. 22-32.

УДК 517.977

MSC: 30E10, 47A58

DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-3-22-32

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 15-01-02705),
Программы государственной поддержки ведущих научных школ (НШ-9356.2016.1) и
Программы повышения конкурентоспособности УрФУ (постановление №211 Правительства РФ от 16.03.2013, контракт №02.A03.21.0006 от 27.08.2013).

Пусть $\gamma(\rho)$ - функция неотрицательная, измеримая, почти всюду отличная от нуля на $(0,1),$ у которой произведение $\rho\gamma(\rho)$ суммируемо на $(0,1)$. Обозначим через $\mathcal{B}=B^{p,q}_{\gamma}, 1\leq p\le \infty, 1\leq q < \infty,$ пространство аналитических в круге функций $f,$ для которых суммируема на $(0,1)$ функция $M_p^q(f,\rho)\rho\gamma(\rho),$ где $M_p^q(f,\rho)$ есть $p$-среднее значение $f$ на окружности радиуса $\rho;$ это пространство наделено нормой $ \|f\|_{B^{p,q}_{\gamma}}=\|M_p(f,\cdot)\|_{L^q_{\rho\gamma(\rho)}(0,1)}. $ В случае $q=\infty$ пространство $\mathcal{B}=B^{p,\infty}_{\gamma}$ отождествляется с пространством Харди $H^p.$ С помощью оператора $L,$ заданного на аналитических в единичном круге функциях $f(z)=\sum_{k=0}^\infty c_k z^k$ равенством $Lf(z)=\sum_{k=0}^\infty l_k c_k z^k$, определим класс $$ LB_\gamma^{p,q}(N):=\{f\colon \|Lf\|_{B_\gamma^{p,q}}\le N\},\quad N>0. $$ Для пары таких операторов $L$ и $G$ при некоторых ограничениях исследованы три экстремальные задачи.

(1) Найдено наилучшее приближение класса $LB_\gamma^{p_1,q_1}(1)$ классом $GB_\gamma^{p_3,q_3}(N)$ по норме пространства $B_\gamma^{p_2,q_2}$ при $2\le p_{1}\le\infty,$ $1\leq p_{2}\leq 2,$ $1\leq p_{3}\leq 2,$ $1\le q_1=q_2=q_3\le\infty$ и $q_s=2$ или $\infty.$

(2) Найдено наилучшее приближение оператора $L$ множеством $\mathcal{L}(N), N>0, $ линейных ограниченных операторов из $B_\gamma^{p_1,q_1}$ в $B_\gamma^{p_2,q_2}$ c нормой, не превосходящей $N,$ на классе $GB_\gamma^{p_3,q_3}(1)$ при $2\le p_{1}\le\infty,$ $1\leq p_{2}\leq 2,$ $2\leq p_{3}\leq \infty,$ $1\le q_1=q_2=q_3\le\infty$ и $q_s=2$ или $\infty.$

(3) Получены оценки модуля непрерывности оператора $L$ на классе $GB_\gamma^{p_3,q_3}(1),$ а в гильбертовом случае - его точное значение.

Ключевые слова: пространства Харди и Бергмана; наилучшее приближение класса классом; наилучшее приближение неограниченного оператора ограниченными; модуль непрерывности оператора.

Список литературы

1. Арестов В.В. О некоторых экстремальных задачах для дифференцируемых функций одной переменной. Приближение функций и операторов // Тр. МИАН СССР. 1975. Т. 138. С. 3-28.

2. Арестов В.В. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстремальные задачи // Успехи мат. наук. 1996. Т. 51, № 6. С. 89-124.

3. Arestov V., Filatova M. Best approximation of the differentiation operator in the space $L_2$ on the semiaxis // J. Approx. Theory. 2014. Vol. 187, no. P. 65-81. doi: http://dx.doi.org/10.3103/S1066369X13050010.

4. Вакарчук С.Б., Вакарчук М.Б. О мультипликативных неравенствах типа Харди-Литтльвуда-Полиа для аналитических функций одной и двух комплексных переменных // Вiснiк Днiпропетровского унiверситету, сер. Математика. 2010. Т. 18, № 6/1. С. 81-87.

5. Вакарчук С.Б., Вакарчук М.Б. Неравенства типа Колмогорова для аналитических функций одной и двух комплексных переменных и их приложение к теории аппроксимации // Укр. мат. журн. 2011. Т. 63, № 12. С. 1579-1601.

6. Вакарчук С.Б., Вакарчук М.Б. О неравенствах типа Колмогорова для аналитических в круге функций // Вiснiк Днiпропетровского унiверситету, сер. Математика. 2012. Т. 17, № 61. С. 82-88.

7. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Т. 1. М.: Наука, 1978. 392 c.

8. Саидусайнов М.С. Точные неравенства типа Колмогорова для функций, принадлежащих весовому пространству Бергмана // Тр. Междунар. летней мат. шк.-конф. С.Б.Стечкина по теории функций (Таджикистан, Душанбе, 15-25 августа, 2016). 2016. С. 217-223.

9. Стечкин С.Б. Наилучшее приближение линейных операторов // Мат. заметки. 1967. Т. 1, вып 2. С. 137-148.

10. Тайков Л.В. О наилучшем приближении в среднем некоторых классов аналитических функций// Мат. заметки. 1967. Т. 1, вып. 2. С. 155-162.

11. Шабозов М.Ш., Саидусайнов М.С. Неравенство типа Колмогорова в весовом пространстве Бергмана // Докл. АН республики Таджикистан. 2007. Т. 50, № 1. С. 14-19.

12. Шведенко С.В. Классы Харди и связанные с ними пространства аналитических функций в единичном круге, поликруге и шаре // Итоги науки и техники. Сер. Мат. анализ. 1985. Т. 23. С. 3-124.

Поступила 15.05.2017

Акопян Роман Размикович, канд. физ.-мат. наук,
Уральский федеральный университет,
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, г. Екатеринбург
e-mail: RRAkopyan.mephi.ru

Саидусайнов Муким Саидусайнович, канд. физ.-мат. наук
Таджикский национальный университет, г. Душанбе, Таджикистан
e-mail: smuqim@gmail.com

R.R. Akopyan, M.S. Saidusainov. Three extremal problems in the Hardy and Bergman spaces of functions analytic in a disk

Let a nonnegative measurable function $\gamma(\rho)$ be nonzero almost everywhere on $(0,1)$, and let the product $\rho\gamma(\rho)$ be summable on$(0,1)$. Denote by $\mathcal{B}=B^{p,q}_{\gamma}$, $1\leq p\le \infty$, $1\leq q < \infty$, the space of functions $f$ analytic in the unit disk for which the function $M_p^q(f,\rho)\rho\gamma(\rho)$ is summable on $(0,1)$, where $M_p^q(f,\rho)$ is the $p$-mean of$f$ on the circle of radius $\rho$; this space is equipped with the norm $ \|f\|_{B^{p,q}_{\gamma}}=\|M_p(f,\cdot)\|_{L^q_{\rho\gamma(\rho)}(0,1)}. $ In the case $q=\infty$, the space $\mathcal{B}=B^{p,\infty}_{\gamma}$ is identified with the Hardy space$H^p$. Using an operator$L$ given by the equality $Lf(z)=\sum_{k=0}^\infty l_k c_k z^k$ on functions $f(z)=\sum_{k=0}^\infty c_k z^k$ analytic in the unit disk, we define the class $$ LB_\gamma^{p,q}(N):=\{f\colon \|Lf\|_{B_\gamma^{p,q}}\le N\},\quad N>0. $$ For a pair of such operators$L$ and$G$, under some constraints, the following three extremal problems are solved.

(1)The best approximation of the class $LB_\gamma^{p_1,q_1}(1)$ by the class $GB_\gamma^{p_3,q_3}(N)$ in the norm of the space $B_\gamma^{p_2,q_2}$ is found for $2\le p_{1}\le\infty$, $1\leq p_{2}\leq 2$, $1\leq p_{3}\leq 2$, $1\le q_1=q_2=q_3\le\infty$, and $q_s=2$ or $\infty$.

(2)The best approximation of the operator$L$ by the set $\mathcal{L}(N)$, $N>0$, of linear bounded operators from $B_\gamma^{p_1,q_1}$ to $B_\gamma^{p_2,q_2}$ with the norm not exceeding$N$ on the class $GB_\gamma^{p_3,q_3}(1)$ is found for $2\le p_{1}\le\infty$, $1\leq p_{2}\leq 2$, $2\leq p_{3}\leq \infty$, $1\le q_1=q_2=q_3\le\infty$, and $q_s=2$ or $\infty$.

(3)Bounds for the modulus of continuity of the operator$L$ on the class $GB_\gamma^{p_3,q_3}(1)$ are obtained, and the exact value of the modulus is found in the Hilbert case.

Keywords: Hardy and Bergman spaces, best approximation of a class by a class, best approximation of an unbounded operator by bounded operators, modulus of continuity of an operator.

The paper was received by the Editorial Office on May 15, 2017.

Roman Razmikovich Akopyan, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Ural Federal University, Ekaterinburg, 620002, Russia; Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia,  e-mail: RRAkopyan@mephi.ru

Mukim Saidusainovich Saidusainov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Tajik National University, Dushanbe, 734025 Republic of Tajikistan,  e-mail: smuqim@gmail.com